離心率計(jì)算的離心率計(jì)多種方法與技巧大匯總
一、前言
在圓錐曲線的多種大匯學(xué)習(xí)中，離心率就像一把神秘的技巧鑰匙，它能開(kāi)啟許多有關(guān)曲線性質(zhì)和形態(tài)的離心率計(jì)大門(mén)。無(wú)論是多種大匯橢圓、雙曲線還是技巧拋物線（拋物線離心率為1，相對(duì)特殊但也是離心率計(jì)圓錐曲線家族一員），準(zhǔn)確計(jì)算離心率都至關(guān)重要。多種大匯然而，技巧它的離心率計(jì)計(jì)算往往讓不少學(xué)生感到頭疼，其實(shí)只要掌握了多種方法與技巧，多種大匯就能輕松應(yīng)對(duì)。技巧今天，離心率計(jì)我們就來(lái)大匯總一下離心率計(jì)算的多種大匯那些方法和技巧。
二、技巧定義法
對(duì)于橢圓和雙曲線，離心率的定義是$e = \frac{ c}{ a}$（其中$c$為半焦距，$a$為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)或者實(shí)半軸長(zhǎng)）。
橢圓：$c^{ 2}=a^{ 2}-b^{ 2}$（$b$為短半軸長(zhǎng)）。例如，已知橢圓方程為$\frac{ x^{ 2}}{ 25}+\frac{ y^{ 2}}{ 9} = 1$，這里$a = 5$，$b = 3$，根據(jù)$c^{ 2}=a^{ 2}-b^{ 2}$，可得$c = 4$，那么離心率$e=\frac{ c}{ a}=\frac{ 4}{ 5}$。
雙曲線：$c^{ 2}=a^{ 2}+b^{ 2}$（$b$為虛半軸長(zhǎng)）。
三、方程法
當(dāng)已知圓錐曲線的方程時(shí)，可以通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行變形，找出$a$和$c$的關(guān)系。
比如雙曲線方程$\frac{ x^{ 2}}{ 9}-\frac{ y^{ 2}}{ 16}=1$，可得$a^{ 2} = 9$，$b^{ 2}=16$，再由$c^{ 2}=a^{ 2}+b^{ 2}$得到$c^{ 2}=9 + 16 = 25$，所以$a = 3$，$c = 5$，離心率$e=\frac{ 5}{ 3}$。
四、幾何關(guān)系法
利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)來(lái)求解離心率。
在橢圓中，若已知橢圓上一點(diǎn)$P$到兩焦點(diǎn)$F_1,F_2$的距離關(guān)系，如$\vert PF_1\vert+\vert PF_2\vert = 2a$，再結(jié)合一些三角形的幾何關(guān)系，比如焦點(diǎn)三角形中的余弦定理等。
對(duì)于雙曲線，若焦點(diǎn)三角形中已知角的大小，也可以利用余弦定理結(jié)合雙曲線定義求出離心率。例如，雙曲線焦點(diǎn)三角形$\triangle F_1PF_2$中，$\angle F_1PF_2 = \theta$，根據(jù)雙曲線定義$\vert\vert PF_1\vert-\vert PF_2\vert\vert= 2a$，$|F_1F_2| = 2c$，由余弦定理可得關(guān)于$a$、$c$、$\theta$的關(guān)系式，進(jìn)而求出離心率。
五、漸近線法（雙曲線特有的方法）
雙曲線的漸近線方程為$y=\pm\frac{ b}{ a}x$，而離心率$e=\sqrt{ 1+(\frac{ b}{ a})^2}$。如果已知漸近線的斜率，就能很方便地求出離心率。比如雙曲線漸近線方程為$y=\pm\frac{ 3}{ 4}x$，則$\frac{ b}{ a}=\frac{ 3}{ 4}$，離心率$e=\sqrt{ 1+(\frac{ 3}{ 4})^2}=\frac{ 5}{ 4}$。